Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{6}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．

Answer 1

分析 由已知求出$|\overrightarrow{a}|$，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），利用数量积为0求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再结合|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{6}$，求出$|\overrightarrow{b}|$，最后求得$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|可求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（1，3），得$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{10}$，
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），得$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=$\frac{1}{2}×10=5$．
又|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=2$\sqrt{6}$，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=24$，
即$10+10+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=24$，∴$|\overrightarrow{b}{|}^{2}=4$．
则$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$（\sqrt{10}）^{2}-2×5+4=4$．
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是明确${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，是基础的计算题．