Question

【题目】如图，P（x0 ， y0）是椭圆 +y2=1的上的点，l是椭圆在点P处的切线，O是坐标原点，OQ∥l与椭圆的一个交点是Q，P，Q都在x轴上方

（1）当P点坐标为（ ， ）时，利用题后定理写出l的方程，并验证l确定是椭圆的切线；
（2）当点P在第一象限运动时（可以直接应用定理）
①求△OPQ的面积
②求直线PQ在y轴上的截距的取值范围．
定理：若点（x0 ， y0）在椭圆 +y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为 +y0y=1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由点（x0，y0）在椭圆 +y2=1上，则椭圆在该点处的切线方程为 +y0y=1．

若P（ ， ），则 ，整理得：直线l：x+y=2，

由 ，整理得：4x2﹣12x+9=0，

△=（12）2﹣4×4×9=0，

∴直线l：x+y=2是椭圆的切线

（2）解：①设P（x0，y0），则x02+3y02=1，且切线l： +y0y=1．

则OQ：x0x+3y0y=0， ，解得： ，

由Q在x轴上方，则Q（﹣ y0， x0），

则丨OQ丨= = ，

由l与直线OQ之间的距离d= ，

由△OPQ的面积S= ×丨OQ丨×d= ，

②设直线PQ交y轴点M（0，m），由P（x0，y0），Q（﹣ y0， x0），x0x+3y0y=0，

由kPQ=kPM，则 = ，

则m=y0﹣ = ，

3=x02+3y02＜（x0+ y0）2≤2（x02+3y02）=6，

故m= ∈[ ，1）

【解析】（1）由定理求得切线方程，代入椭圆方程，由△=0，则直线l：x+y=2是在P点的椭圆的切线；（2）①由定理求得P点的切线方程，即可求得OQ的方程，代入椭圆方程，即可求得Q点坐标，即可求得丨OQ丨，则l与直线OQ之间的距离d，即可求得△OPQ的面积；②由kPQ=kPM，即可求得m，由3=x02+3y02＜（x0+ y0）2≤2（x02+3y02）=6，即可求得m的取值范围．