Question

有4个不同的小球，4个不同的盒子，把小球全部放入盒内．
（1）恰有1个盒内有2个小球，有多少种不同放法？
（2）恰有两个盒内不放小球，有多少种不同放法？

Answer 1

【答案】分析：（1）先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
（2）先分类，把四个小球先分成两组，每组两个小球，或者是把四个小球分成两组，每组一个和三个，分完小组后再进行排列，从4个盒中选两个位置排列，得到结果．
解答：解：（1）可分三个步骤完成这件事情：第一步，从4个小球中取两个小球，有C₄²种方法；
第二步，将取出的两个小球放入一个盒内，有C₄¹种方法；
第三步，在剩下的三个盒子中选两个放剩下的两个小球，有A₃²种方法；
由分步计数原理，共有C₄²•C₄¹•A₃²=144种放法．
（2）完成这件事情有两类办法：第一类，一个盒子放3个小球，一个盒子放1个小球，两个盒子不放小球有C₄¹•C₄³•C₃¹=48种方法；…（9分）
第二类，有两个盒子各放2个小球，另两个盒子不放小球有C₄²•C₄²=36种方法；…（12分）
由分类计数原理，共有48+36=84种放法．
点评：本题考查分步、分类计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列