Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图：将函数y=f（x）（x∈R）的图象向左平移

π

4

个单位，得函数y=g（x）的图象（g′（x）为g（x）的导函数），下面结论正确的是（　　）

• A．函数g（x）是奇函数
• B．函数g′（x）在区间（-

  π

  3

  ，0）上是减函数
• C．g（x）?g′（x）的最小值为-3
• D．函数g（x）的图象关于点（

  π

  6

  ，0）对称

Answer 1

分析：根据所给图象求出f（x）的解析式，通过平移求出g（x），进而求出g′（x），然后根据选项逐个检验即可．

解答：解：由图象知，A=1，函数f（x）的周期T=2（

7

12

π-

π

4

）=

2π

3

，
由

2π

3

=

2π

ω

，得ω=3，
由五点法作图知：3×

π

4

+φ=

π

2

，解得φ=-

π

4

，
所以f（x）=sin（3x-

π

4

），
g（x）=f（x+

π

4

）=sin[3（x+

π

4

）-

π

4

]=sin（3x+

π

2

）=cos3x，
g′（x）=-3sin3x，
因为g（-x）=cos（-3x）=cos3x=g（x），所以g（x）为偶函数，排除A；
g′（x）=-3sin3x在（-

π

3

，0）上不单调，故排除B；
g（x）•g′（x）=cos3x•（-3sin3x）=-

3

2

sin6x，最小值为-

3

2

，故排除C；
由3x=kπ+

π

2

，得x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，则g（x）=cos3x的对称中心为（

kπ

3

+

π

6

，0）k∈Z，
当k=0时，对称中心为（

π

6

，0），
故选D．

点评：本题考查函数y=sin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的单调性、奇偶性，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力．