Question

【题目】设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x ． 求函数g（x）的极值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3 令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣ ，因此f（x）=x3﹣ x2﹣3x+1
∴f（1）=﹣ ，
又∵f'（1）=2×（﹣ ）=﹣3，
故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣ ）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．
（Ⅱ）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x
从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x
令g'（x）=0，则x=0或x=3
∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3
【解析】（Ⅰ）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．