[题目]设.分别是椭圆C:的左.右焦点.过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A.B两点．Ⅰ求的周长,Ⅱ若存在直线l.使得直线.AB.与直线分别交于P.Q.R三个不同的点.且满足P.Q.R到x轴的距离依次成等比数列.求该直线l的方程．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B两点．

Ⅰ求的周长；

Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．

【答案】（1）（2）．

【解析】

Ⅰ的周长为；

Ⅱ由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为，因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以，联立与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，即可得出结论．

解：Ⅰ因为椭圆的长轴长，焦距．

又由椭圆的定义得

所以的周长为

Ⅱ由题意得l不垂直两坐标轴，故设l的方程为

于是直线l与直线交点Q的纵坐标为

设，，显然，，

所以直线的方程为

故直线与直线交点P的纵坐标为

同理，点R的纵坐标为

因为P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，所以

即

整理得

联立与椭圆方程，消去y得

所以，

代入化简得

解得

经检验，直线l的方程为．

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