Question

【题目】若函数f（x）满足：f（|x|）＝|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：

①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；

②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；

③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，则{y|y＝f（x），x∈D}{y|y≥0}；

在上述命题中，真命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】B

【解析】

由对等函数的定义可判断①②，举反例说明③错误

①定义域为R的“对等函数”，可令x＝0，即f（0）＝|f（0）|，

解得f（0）＝0，或f（0）＝1，故①错误；

②两个定义域相同的“对等函数”，设y＝f（x）和y＝g（x）均为“对等函数”，

可得f（|x|）＝|f（x）|，g（|x|）＝|g（x）|，

设F（x）＝f（x）g（x），即有F（|x|）＝f（|x|）g（|x|）＝|f（x）g（x）|＝|F（x）|，

则乘积一定是“对等函数，故②正确”；

③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，

可取f（x）＝x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．

故选：B．