Question

20．已知直线1的方程为x+（a-1）y+a²-1=0．
（1）若直线1不过第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若直线1将圆x²+y²-2mx-4y=0平分，当m取得最大值时，求圆的方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，直线方程化为斜截式，利用直线1不过第二象限，进口求实数a的取值范围；
（2）若直线1将圆x²+y²-2mx-4y=0平分，圆心（m，2）在直线l：x+（a-1）y+a²-1=0上，求出m的最大值，即可求圆的方程．

解答 解：（1）a=1，方程可化为x=1，不符合题意；
a≠1，方程可化为y=$\frac{1}{1-a}$x-1-a，
∵直线1不过第二象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{1-a}≥0}\\{-1-a≥0}\end{array}\right.$，∴a≤-1；
（2）∵若直线1将圆x²+y²-2mx-4y=0平分，
∴圆心（m，2）在直线l：x+（a-1）y+a²-1=0上，
∴m+2（a-1）+a²-1=0，
∴m=-a²-2a+3=-（a+1）²+4，
∴a=-1时，m的最大值为4，
∴圆的方程为x²+y²-8x-4y=0．

点评 本题考查直线在坐标轴上的截距的定义，用考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．