Question

19．已知函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）成中心对称，且当（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），$b=（{log_9}3）•f（{log_9}3），c=（{log_3}\frac{1}{9}）•f（{log_3}\frac{1}{9}）$，则a、b、c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）成中心对称，可得函数y=f（x）的图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数．令g（x）=xf（x），则函数g（x）是偶函数．
g′（x）=f（x）+xf′（x），可得函数g（x）=xf（x），在x∈（-∞，0）时单调递减，由偶函数的性质可得：函数g（x）=xf（x），在x∈（0，+∞）时单调递增．
即可得出．

解答 解：∵函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）成中心对称，
∴函数y=f（x）的图象关于原点对称，因此函数f（x）是奇函数．
令g（x）=xf（x），则函数g（x）是偶函数．
g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，
∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）=xf（x），在x∈（-∞，0）时单调递减，
由偶函数的性质可得：函数g（x）=xf（x），在x∈（0，+∞）时单调递增．
∵a=（3^0.3）•f（3^0.3），$b=（{log_9}3）•f（{log_9}3），c=（{log_3}\frac{1}{9}）•f（{log_3}\frac{1}{9}）$=-2f（-2）=2f（2），
∵2＞3^0.3＞1＞log₉3=$\frac{1}{2}$，
则a、b、c的大小关系是a＞c＞b．
故选：D．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、函数的奇偶性与单调性、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．