Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x₀处取得极小值-5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0）与（2，0）
（1）求a，b的值；
（2）求x₀及函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）利用函数在x₀处取得极小值-5，以及导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0）与（2，0），确定a，b，c的值．
（2）由（1）可以确定x₀及函数f（x）的表达式．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b…（2分）
过点（0，0）与（2，0），故

b=0 12+4a+b=0

得

a=-3 b=0

；…（5分）
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²+c…（6分）
由f′（x）=3x²-6x=0⇒x=0或x=2…（8分）
而当x＜0时，f′（x）＞0；     
当0＜x＜2时，f′（x）＜0
当x＞2时，f′（x）＞0；
故f（2）是f（x）的最小值…（10分）
从而有x₀=2，f（2）=-5…（11分）
由f（2）=-5⇒8-12+c=-5，解得c=-1…（12分）
∴f（x）=x³-3x²-1…（13分）

点评：本题主要考查了导数和函数极值的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性，极值和最值的基本方法．