Question

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设双曲线E的方程为，则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴，解之得a=1，∴．
∴双曲线E的方程为．
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由，得y₁+λy₂=0．
即λ=-①
∵=（4，0），=（x₁-t-λx₂+λt，y₁-λy₂）
∴x₁-t-λx₂+λt=0
∴x₁-t=λ（x₂-t）
即ky₁+m-t=λ（ky₂+m-t）②
①代入②得2ky₁y₂+（m-t）（y₁+y₂）=0③
把x=m+ky代入双曲线，消去x可得（3k²-1）y²+6kmy+3（m²-1）=0
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
代入③可得-=0
化简可得kmt=k
当t=时，上式恒成立
因此，在x轴上存在定点G（，0），使．
分析：（1）设双曲线E的方程，利用BD=3DC，△ABC的周长为12，建立方程，即可求得双曲线的方程；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在x轴上存在定点G（t，0），再利用根与系数的关系，求出t的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、向量的运算、双曲线方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．