Question

7．已知圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是6$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦．因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．

解答 解：∵圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=9，
∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．
∵P（2，2）是该圆内一点，
∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
∵|PM|=$\sqrt{（1-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴由垂径定理，得|BD|=2$\sqrt{7}$．
因此，四边形ABCD的面积是S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{7}$=6$\sqrt{7}$．
故答案为6$\sqrt{7}$

点评 本题给出圆内一点P，求经过点P最长的弦与最短的弦构成的四边形的面积．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和垂直于弦的直径的性质等知识，属于中档题．