【题目】函数,.
(Ⅰ)讨论的极值点的个数;
(Ⅱ)若对于,总有.(i)求实数的范围; (ii)求证:对于,不等式成立.
【答案】见解析.
【解析】【试题分析】(Ⅰ)先运用求导法则求函数的导数,再分类进行探求; (Ⅱ)先将不等式进行等价转化,再构造函数借助导数的有关知识进行推证:
(Ⅰ)解法一:由题意得, 令
(1)当,即时,对恒成立
即对恒成立,此时没有极值点;…………2分
(2)当,即
①时,设方程两个不同实根为,不妨设
则,故
∴时;在时
故是函数的两个极值点.
②时,设方程两个不同实根为,
则,故
∴时,;故函数没有极值点. ……………………………4分
综上,当时,函数有两个极值点;
当时,函数没有极值点. ………………………………………5分
解法二:, …………………………………………1分
,
当,即时,对恒成立,在单调增,没有极值点; ……………………………………………………………3分
②当,即时,方程有两个不等正数解,
不妨设,则当时,增;时,减;时,增,所以分别为极大值点和极小值点,有两个极值点.
综上所述,当时,没有极值点;
当时,有两个极值点. ………………………………5分
(Ⅱ)(i),
由,即对于恒成立,设,
,
,时,减,时,增,
,. ……………………………………9分
(ii)由(i)知,当时有,即:,……①当且仅当时取等号, ……………………………10分
以下证明:,设,,
当时减,时增,
,,……②当且仅当时取等号;
由于①②等号不同时成立,故有.……………………………12分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系xOy上取两个定点 再取两个动点,,且.
(Ⅰ)求直线与交点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过的直线与轨迹C交于P,Q,过P作轴且与轨迹C交于另一点N,F为轨迹C的右焦点,若,求证:.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将圆上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得曲线C.
(Ⅰ)写出C的参数方程;
(Ⅱ)设直线l: 与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】空气质量指数(,简称)是定量描述空气质量状况的无量纲指数,参与空气质量评价的主要污染物为等六项.空气质量按照大小分为六级:一级为优;二级为良好;三级为轻度污染;四级为中度污染;五级为重度污染;六级为严重污染.
某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天的茎叶图如图所示:
(1)利用访样本估计该地本月空气质量优良()的天数;(按这个月总共30天计算);
(2)若从样本中的空气质量不佳()的这些天中,随机地抽取三天深入分析各种污染指标,求这三天的空气质量等级互不相同的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过A作AF⊥SB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.
求证:(1)平面EFG∥平面ABC;
(2)BC⊥SA.
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