Question

已知函数F（x）=m•3^x+n•2^x（m，n均为非零常数）．
（1）若m+n=0，解关于x的方程F（x）=0；
（2）求证：当m＜0，n＜0时，F（x）为R上的单调减函数；
（3）若mn＜0，求满足F（x+1）≤F（x）的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得函数F（x）=m（ 3^x-2^x ），故方程F（x）=0即 m（ 3^x-2^x ）=0，故有 3^x-2^x=0，解得x=0．
（2）当m＜0，n＜0时，设x₁＜x₂，化简F（x₁）-F（x₂）=m（3x1-3x2）+n（2x1-2x2）＞0，从而可得F（x）为R上的单调减函数．
（3）不等式可化为m3^x+1+n2^x+1≤（m•3^x+n•2^x），即2m3^x≤-n 2^x ．分 m＞0、n＜0和m＜0、n＞0两种情况，分别利用不等式的性质，求出不等式的解集．

解答：解：（1）∵函数F（x）=m•3^x+n•2^x（m，n均为非零常数），m+n=0，即n=-m，
∴函数F（x）=m•3^x-m•2^x =m（ 3^x-2^x ），故方程F（x）=0即 m（ 3^x-2^x ）=0，
故有 3^x-2^x=0，∴x=0．
（2）证明：当m＜0，n＜0时，设x₁＜x₂，
∵F（x₁）-F（x₂）=m3x1+n2x1-（m3x2+n2x2）=m（3x1-3x2）+n（2x1-2x2），
由指数函数的单调性可得 3x1-3x2＜0，2x1-2x2＜0．
∴m（3x1-3x2）＞0，n（2x1-2x2）＞0，∴F（x₁）-F（x₂）＞0，故 F（x₁）＞F（x₂），
故F（x）为R上的单调减函数．
（3）不等式F（x+1）≤F（x）即m3^x+1+n2^x+1≤（m•3^x+n•2^x），
即m（3^x+1-3^x）≤n（2^x-2^x+1）=-n（2^x+1-2^x），即2m3^x≤-n 2^x ．
当 m＞0、n＜0时，不等式可化为(

3

2

)x≤-

n

2m

，解得 x≤log

3

2

(-

n

2m

)．
当m＜0、n＞0时，不等式可化为 (

3

2

)x≥-

n

2m

，解得 x≥log

3

2

(-

n

2m

)．

点评：本题主要考查指数型函数的性质以及应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．