Question

2．已知0＜x＜π，sinα、cosα是方程5x²-x+m=0的两实根，求：
（1）m的值；
（2）求sinα、cosα、tanα的值；
（3）sin³α+cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用韦达定理及同角三角函数间基本关系列出关系式，整理即可求出m的值；
（2）利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系列出关系式，整理求出sinα-cosα的值，与已知等式联立求出sinα与cosα的值，即可确定出tanα的值；
（3）原式利用立方和公式变形，再利用同角三角函数间基本关系化简，将各自的值代入计算即可求值．

解答 解：（1）∵0＜α＜π，sinα、cosα是方程5x²-x+m=0的两实根，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=$\frac{m}{5}$，
∵（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{2m}{5}$=$\frac{1}{25}$，
解得：m=-$\frac{12}{5}$；
（2）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$①，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$②，
联立①②解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，tanα=-$\frac{4}{3}$；
（3）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴原式=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=（sinα+cosα）（1-sinαcosα）=$\frac{1}{5}$×$\frac{37}{25}$=$\frac{37}{125}$．

点评 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．