Question

已知函数f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

，给出下列结论：
①f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ-

π

4

，k∈Z}；
②f（x）的值域为[-1，1]；
③f（x）是周期函数，最小正周期为2π；
④f（x）的图象关于直线对称；
⑤将f（x）的图象按向量

a

=(

π

2

，0)平移得到g（x）的图象，则g（x）为奇函数．
其中，正确的结论是

③④

（将你认为正确的结论序号都写出）

Answer 1

分析：①sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≠0⇒x+

π

4

≠kπ⇒x≠kπ-

π

4

，①显然错；
②由f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，可判断②；
③由f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，f（x+2π）=f（x）可判断f（x）是周期函数，
又f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

可判断最小正周期为2π；
由f（x）的图象可判断 ④的正误；
⑤将函数f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

的图象按向量

a

=(

π

2

，0)平移，g（x）=

|sinx-cosx|

sinx-cosx

≠g（-x），其正误可判．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≠0，
∴x+

π

4

≠kπ即x≠kπ-

π

4

，故①错误；
∵f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，
∴f（x）的值域为{-1，1}，故②错误；
∵f（x+2π）=

1+sin2(x+2π)

sin(x+2π)+cos(x+2π)

=

1+sin2x

sinx+cosx

=f（x），
∴f（x）是周期函数，
又f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

，
∴其最小正周期为2π；故③正确；
由f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

的图象可知…x=-

3π

4

，x=

π

4

，x=

5π

4

，…均为其对称轴，故④正确；
将函数f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

的图象按向量

a

=(

π

2

，0)平移得g（x）=

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，
g（-x）=

|-sinx-cosx|

-sinx-cosx

=-

|sinx+cosx|

sinx+cosx

≠

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，故⑤错误．
综上所述：③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题考查正余弦函数的定义域和值域，向量的平移及三角函数的周期性及其求法，着重考查学生综合分析与应用的能力，注重了分类讨论，转化，数形结合思想的考查，属于难题．