Question

10．设F₁，F₂分别是短轴长为6的椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，且△ABF₂的周长为16．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点P为E上一点，若PF₁=3，求PF₂的长度．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的a=4，由椭圆的定义可得，|CF₁|+|CF₂|=|DF₁|+|DF₂|=2a，即可得到周长为4a，计算即可得到所求；
（2）由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，计算即可得到PF₂的长度．

解答 解：（1）由题意可得椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1的b=3，
由椭圆的定义可得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△F₂AB的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=16．解得a=4，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）点P为E上一点，若|PF₁|=3，
由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
即有|PF₂|=8-|PF₁|=8-3=5．
则PF₂的长度为5．

点评 本题考查椭圆的定义和方程，主要考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．