Question

等差数列{a_n}的首项a₁=23，公差d为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数．
（1）求此数列的公差d；
（2）设前n项和为S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一个值最大，并说明理由．
（3）当前n项和S_n是正数时，求n的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式列出a₆＞0，a₇＜0，求出d的值；
（2）根据d＜0判断{a_n}是递减数列，再由a₆＞0，a₇＜0，得出n=6时，S_n取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可．

解答：解：（1）由

a6＞0 a7＜0

得

23+5d＞0 23+6d＜0

?-

23

5

＜d＜-

23

6

∵d∈Z∴d=-4
（2）设前n项和为S_n，指出S₁，S₂，…S_n中哪一个值最大，并说明理由．Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n=-2(n-

25

4

)2+

625

16

∴n=6时，S₆最大
（3）当前n项和S_n是正数时，求n的最大值．
Sn=23n+

n(n-1)

2

•(-4)=-2n2+25n＞0∴0＜n＜12.5
∴n的最大值为12

点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，以及数列的函数性质．（2）问d＜0判断{a_n}是递减数列，是解题的关键，属于中档题．