【题目】在平面内,定点A,B,C,D满足 = = , = = =﹣2,动点P,M满足 =1, = ,则| |2的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解:由 = = ,可得D为△ABC的外心, 又 = = ,可得 ( ﹣ )=0, ( ﹣ )=0,即 = =0,即有 ⊥ , ⊥ ,可得D为△ABC的垂心,
则D为△ABC的中心,即△ABC为正三角形.
由 =﹣2,即有| || |cos120°=﹣2,解得| |=2,△ABC的边长为4cos30°=2 ,
以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,
可得B(3,﹣ ),C(3, ),D(2,0),由 =1,可设P(cosθ,sinθ),(0≤θ<2π),由 = ,可得M为PC的中点,即有M( , ),则| |2=(3﹣ )2+( + )2= + = = ,当sin(θ﹣ )=1,即θ= 时,取得最大值,且为 .
故选:B.
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【题目】如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的重心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论:
①PC∥平面OMN;
②平面PCD∥平面OMN;
③OM⊥PA;
④直线PD与直线MN所成角的大小为90°.
其中正确结论的序号是______.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知椭圆 的右焦点为,且点在椭圆上,为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且,求直线的斜率的取值范围;
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【题目】已知椭圆:的离心率为,,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与相交于、两点,的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上存在点,使得四边形为平行四边形,求此时直线的方程.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
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【题目】给出下列四个命题中:
①命题: ;
②函数f(x)=2x﹣x2有三个零点;
③对(x,y)∈{(x,y)|4x+3y﹣10=0},则x2+y2≥4.
④已知函数 ,若△ABC中,角C是钝角,那么f(sinA)>f(cosB)
其中所有真命题的序号是 .
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【题目】已知函数.
(1) 把的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍,再将横坐标向右平移 个单位,可得图象,求,的值;
(2) 若对任意实数和任意,恒有,求实数的取值范围.
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