Question

（04年湖北卷理）（12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱

CD上的动点.

（I）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（II）当D­₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的大小（结果用反三角函数值表示）.

 

Answer 1

解析：解法一：（I）连结A₁B，则A₁B是D₁E在面ABB₁A；内的射影

    ∵AB₁⊥A₁B，∴D₁E⊥AB₁，

       于是D₁E⊥平面AB₁FD₁E⊥AF.

       连结DE，则DE是D₁E在底面ABCD内的射影.

       ∴D₁E⊥AFDE⊥AF.

       ∵ABCD是正方形，E是BC的中点.

       ∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，

       即当点F是CD的中点时，D₁E⊥平面AB₁F.…………6分

（II）当D₁E⊥平面AB₁F时，由（I）知点F是CD的中点.

       又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，

       设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C₁H，则CH是

       C₁H在底面ABCD内的射影.

       C₁H⊥EF，即∠C₁HC是二面角C₁―EF―C的平面角.

       在Rt△C₁CH中，∵C₁C=1，CH=AC=，

       ∴tan∠C₁HC=.

       ∴∠C₁HC=arctan，从而∠AHC₁=.

       故二面角C₁―EF―A的大小为.

       解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）设DF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），

       A₁（0，0，1），B（1，0，1），D₁（0，1，1），E，F（x，1，0）

      

       （1）当D₁E⊥平面AB₁F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD. 连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF. 连结C₁H，则CH是C₁H在底面ABCD内的射影.

       ∴C₁H⊥EF，即∠AHC₁是二面角C₁―EF―A的平面角.