)如图所示,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=.
(1)证明:△PBC为直角三角形;
(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.
(1)见解析(2)
【解析】(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,-1,).
于是=(-,-1,),=(-,2,0).
因为·=(-,-1,)·(-,2,0)=0,所以⊥,
所以BP⊥BC,所以△PBC为直角三角形.
(2)由(1)可得,A(0,-2,0).
于是=(0,1,),=(,1,-),=(0,3,-).
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则即
取y=1,则z=,x=.
所以平面PBC的一个法向量为n=(,1,).
设直线AP与平面PBC所成的角为θ,
则sin θ=|cos〈,n〉|===,
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮专题复习与测试专题1第2课时练习卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )
A.16 B.-16
C.a2-2a-16 D.a2+2a-16
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题六练习卷(解析版) 题型:解答题
(13分)已知圆O:x2+y2=3的半径等于椭圆E:=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆O内,且到直线l:y=x-的距离为-,点M是直线l与圆O的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题八练习卷(解析版) 题型:填空题
已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题八练习卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( )
A.-,1 B.-,1 C.-,0 D.-,0
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题五练习卷(解析版) 题型:填空题
空间直角坐标系中,已知点P(1,2,3),P点关于平面xOy的对称点为P0,则|PP0|=________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题五练习卷(解析版) 题型:选择题
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.6+8 B.12+7 C.12+8 D.18+2
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题三练习卷(解析版) 题型:解答题
如图所示,角A为钝角,且sin A=,点P,Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点.
(1)若AP=5,PQ=3,求AQ的长;
(2)若∠APQ=α,∠AQP=β,且cos α=,求sin(2α+β)的值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题一练习卷(解析版) 题型:选择题
在△ABC中,AB=3,AC=2,=,则·的值为( )
A.- B. C.- D.
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