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)如图所示,在三棱锥PABC中,ABBC,平面PAC平面ABCPDAC于点DAD1CD3PD.

(1)证明:PBC为直角三角形;

(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.

 

1)见解析(2

【解析】(1)证明:取AC中点E,联结BE,以点E为坐标原点,以EBEC所在的直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz,则B(00)C(020)P(0,-1)

于是(,-1)(20)

因为·(,-1)·(20)0,所以

所以BPBC,所以PBC为直角三角形.

(2)(1)可得,A(0,-20)

于是(01)(1,-)(03,-)

设平面PBC的法向量为n(xyz)

y1,则zx.

所以平面PBC的一个法向量为n(1)

设直线AP与平面PBC所成的角为θ

sin θ|cosn|

所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为.

 

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