Question

已知.
（1）求函数在上的最小值；
（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立.

Answer 1

（1）.（2）.（3）见解析.

解析试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论单调性，确定最值.”即得.
（2）由，转化得到，
只需求的最小值，
使.
（3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到.
设，应用导数可知
，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立.
试题解析：（1）.
当单调递减，当单调递增  2分
①  ，即时，；      4分
②  ，即时，在上单调递增，．
所以.              4分
（2），则，
设，则，     6分
①单调递减，②单调递增，
所以，对一切恒成立，
所以.     8分
（3）问题等价于证明，
由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到   10分
设，则，易知
，当且仅当时取到，
从而对一切，都有成立.     12分
考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，不等式恒成立问题.