Question

17．等差数列{a_n}前n项和为S_n，且6S₅-5S₃=5，a₂=1，则S_n的最大值为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根据条件建立方程关系求出首项和公差，结合等差数列前n项和的性质进行求解即可．

解答 解：∵6S₅-5S₃=5，
∴$6×\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$-5×$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=5，
即$\frac{6×5×2{a}_{3}}{2}$-$\frac{5×3×2{a}_{2}}{2}$=5，
则30a₃-15a₂=5，
即6a₃-3a₂=1，
∵a₂=1，
∴6a₃=3a₂+1=3+1=4，
则a₃=$\frac{2}{3}$，
公差d=a₃-a₂=$\frac{2}{3}$-1=-$\frac{1}{3}$，
则a_n=a₂+（n-2）d=1-$\frac{1}{3}$（n-2）=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{5}{3}$，
由a_n=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{5}{3}$≥0得，n≤5，
即当n=5时，a₅=0，
当n≥6时，a_n≤0，
即前4项或前5项S_n最大，
此时S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=$\frac{5×2{a}_{3}}{2}$=5a₃=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$

点评 本题主要考查等差数列前n项和的最值的求解，根据条件求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．