Question

已知复数z₁=i（1-i）³．
（1）求argz₁及|z₁|；
（2）当复数z满足|z|=1，求|z-z₁|的最大值．

Answer 1

分析：（1）化简复数为代数形式后，再化为三角形式，即可求解．
（2）z 设为三角形式，和复数z₁的代数形式，共同代入|z-z₁|，化简后可求最大值．

解答：解：（1）z₁=i（1-i）³=2-2i，
将z₁化为三角形式，得z1=2

2

(cos

7π

4

+isin

7π

4

)，
∴argz1=

7π

4

，|z1|=2

2

．
（2）设z=cosα+isinα，
则z-z₁=（cosα-2）+（sinα+2）i，|z-z₁|²=（cosα-2）²+（sinα+2）²=9+4

2

sin（α-

π

4

），
当sin（α-

π

4

）=1时，|z-z₁|²取得最大值9+4

2

．
从而得到|z-z₁|的最大值为2

2

+1．

点评：本题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．