Question

已知函数f（x）满足：f（-x-1）是奇函数，且f（x+1）+f（-x+3）=0，若f（x+φ）=f（x），φ是非零常数，k∈Z^*，则φ的值一定是（　　）

A．3k

B．6k

C．8k

D．12k

Answer 1

分析：根据等式f（x+1）+f（-x+3）=0进行变量代换，得f（x-1）+f（5-x）=0．根据f（-x-1）是奇函数得f（-x-1）+f（x-1）=0，从而得到f（5-x）=f（-x-1），得到函数f（x）是周期为6的函数，由此可得答案．

解答：解：∵f（x+1）+f（-x+3）=0，
∴用x-2代替x，得f（x-1）+f（5-x）=0，
又∵f（-x-1）是奇函数，可得f（-x-1）+f（x-1）=0
∴f（5-x）=f（-x-1），即f[（-x-1）+6]=f（-x-1）
由此可得f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的函数
因此，当f（x+φ）=f（x）成立时，必定有φ=6k（k∈Z^*）
故选：B

点评：本题给出抽象函数，求函数的最小正周期，考查了函数的奇偶性与周期性及其相互关系的知识，属于中档题．