Question

【题目】已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：
①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0；
②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0，则m的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】(－4，－2)
【解析】 g(x)=2x4>0 时 x>2
当x﹤1时，g(x)﹤0，
又∵①x∈R，f（x）＜0或g(x)﹤0，
∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)＜0在x≥1时恒成立

则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1,0）的左面
则
∴-4＜m＜0，即①成立的范围为-4＜m＜0
又∵②∈（-∞，-4），f（x） g(x)＜0
∴此时g(x)=2x-2＜0恒成立
f（x） =m（x-2m）（x+m+3）>0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，则只要-4比x1 ， x2中的较小的根大即可，
（i）当-1＜m＜0时，较小的根为-m-3，-m-3＜-4不成立
（ii）当m=-1时，两个根同为-2>-4，不成立
（iii）当-4＜m＜-1时，较小的根为2m，2m＜-4，即m＜-2成立.
综上可得①②成立时-4＜m＜-2.
故答案为：（-4，-2）
根据题意当x的取值范围不同时结合指数函数的单调性求解出f(x) >0或f(x) <0的x的解集，进而得到关于m的不等式组解出m的解集即可。