Question

16．已知函数f（x）=|2x-m|（m∈R），g（x）=x-1．
（1）当m=3时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若对于任意实数x，f（x）-g（x）＞2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|2x-3|≤x-1，即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≥0}\\{2x-3≤x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜0}\\{3-2x≤x-1}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集；
（2）化简不等式得|2x-m|-x-1≥0，构造函数h（x）=|2x-m|-x-1，利用分段函数求出h（x）的最小值，根据原不等式对x∈R恒成立等价于h（x）_min≥0，即可求出a的范围．

解答 解：（1）当m=3时，不等式f（x）≤g（x）即为
|2x-3|≤x-1，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≥0}\\{2x-3≤x-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-3＜0}\\{3-2x≤x-1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}$≤x≤2或$\frac{4}{3}$≤x＜$\frac{3}{2}$，
即有不等式的解集为[$\frac{4}{3}$，2]；
（2）对于任意实数x，f（x）-g（x）＞2恒成立，
即为|2x-m|＞x+1恒成立，
可化为|2x-m|-x-1≥0，
令h（x）=|2x-m|-x-1，
则h（x）≥0恒成立，
∵h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-m-1，x＞\frac{m}{2}}\\{m-1-3x，x≤\frac{m}{2}}\end{array}\right.$，
∴h（x）在（-∞，$\frac{m}{2}$）上递减，在（$\frac{m}{2}$，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（$\frac{m}{2}$）=-1-$\frac{m}{2}$≥0，
∴m≤-2．
则实数m的取值范围是（-∞，-2]．

点评 本题考查不等式的解法，含有绝对值的函数化为分段函数解决的技巧，恒成立问题的转化等知识的应用，属于中档题．