【题目】设函数为定义在
上的奇函数,且当
时,
.
(1)求函数的解析式;
(2)求实数,使得函数
在区间
上的值域为
;
(3)若函数在区间
上的值域为
,则记所有满足条件的区间
的并集为
,设
,问是否存在实数
,使得集合
恰含有
个元素?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据函数为奇函数,利用
求得当
时的表达式,由此求得
的解析式.
(2)判断出函数在
时的单调性,由此得到
,由
求解得
的值.
(3)利用,求得集合
,利用分段函数
的解析式,结合分离常数法,求得
的取值范围.
(1)令则
,由于函数
为奇函数,故
.所以函数
的解析式为
.
(2)依题意,且当
时,
是单调递减函数,故
,即
是方程
的两个根,即
,
,由于
且
,故
解得
.
(3)由于函数在区间
上的值域为
,即
,
,所以
同号.当
时,
,当
时,
,即函数
在区间
上单调递减,即
,即
是方程
的两个根,或是方程
的两个根,即
①,或
②.由①解得
,由②解得
,所以
.当
,令
,得
,且
为单调递增函数.当
,令
,得
,且
为单调递减函数.所以在区间
上,当
时,
和
各有
解,也即存在实数
,使得集合
恰含有
个元素.
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【题目】将给定的一个数列:
,
,
,…按照一定的规则依顺序用括号将它分组,则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中,我们将
作为第一组,将
,
作为第二组,将
,
,
作为第三组,…,依次类推,第
组有
个元素(
),即可得到以组为单位的序列:
,
,
,…,我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群,第2个括号称为第2群,第3个数列称为第3群,…,第
个括号称为第
群,从而数列
称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第
个群众,且从第
个括号的左端起是第
个,则称这个元素为第
群众的第
个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27,…,将数列分群,其中,第1群为(1),第2群为(1,3),第3群为(1,3,
),…,以此类推.设该数列前
项和
,若使得
成立的最小
位于第
个群,则
( )
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
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【题目】某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润y与投资x成正比,其关系如图甲,B产品的利润y与投资x的算术平方根成正比,其关系如图乙注:利润与投资单位为万元
分别将A,B两种产品的利润y表示为投资x的函数关系式;
该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产
问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少万元?
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【题目】已知函数,
(1) 判断的奇偶性并证明;
(2) 令
①判断在
的单调性(不必说明理由);
②是否存在,使得
在区间
的值域为
?若存在,求出此时
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设点.若直线
与曲线
相交于不同的两点
,
,求
的值.
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