Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g(x)=Asin(x-

π

6

)，（A≠0）
（1）当0≤x≤

π

2

时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数A的取值范围；
（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

分析：（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1设t=sinx，由x∈[0，

π

2

]可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，结合二次函数的性质可求
（2）依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x₁）值域，然后分①当A＞0时，g（x₂）值域②当A＜0时，g（x₂）值域，建立关于 A的不等式可求A
的范围．
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化为2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．

解答：解：（1）y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，则0≤t≤1
∴y=2(t2-

3

2

t)+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

∴当t=0时，y_max=1
（2）当x₁∈[0，3]∴f（x₁）值域为[-

1

8

，10]
当x₂∈[0，3]时，则-

π

6

≤x2-

π

6

≤3-

π

6

有-

1

2

≤sin(x2-

π

6

)≤1
①当A＞0时，g（x₂）值域为[-

1

2

A，A]
②当A＜0时，g（x₂）值域为[A，-

1

2

A]
而依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
则

A＞0 10≤A - 1 8 ≥- 1 2 A

或

A＜0 10≤- 1 2 A - 1 8 ≥A

∴A≥10或A≤-20
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化为2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解
换t=sinx则2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下：
①当在（-1，1）上只有一个解或相等解，x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或a=

1

2

②当t=-1时，x有惟一解x=

3

2

π
③当t=1时，x有惟一解x=

π

2

故a∈（1，5）或a=

1

2

点评：（1）主要考查了以三角函数为载体转化为二次函数在闭区间上的最值问题
（2）考查了三角函数的值域的求解及分类讨论思想的应用
（3）体现了化归与转化思想的应用，方程与函数的思想的应用．