Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）求证：BC⊥面MDC
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）求面AMN与面NBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由线面垂直的性质可得MD⊥BD，结合MD⊥CD及线面垂直的判定定理可得BC⊥面MDC
（2）证明线面平行只要证明面面平行，即证明一个平面内的两个相交直线分别于另一个平面平行．
（3）根据几何体的结构特征建立直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：证明：（1）∵MD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴MD⊥BC
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴BC⊥CD
又∵MD∩CD=D
∴BC⊥面MDC
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
∴BC∥平面AMD；
又因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
∴平面BNC∥平面AMD，
∴CN∥平面AMD；
解：（3）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，
则：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N（1，1，1），M（0，0，1），
所以

AM

=（-1，0，1），

AN

=（0，1，1），

AB

=（0，1，0）
设平面AMN的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

AM • n =0 AN • n =0

得：

-x+z=0 y+z=0

令z=1得：

n

=（1，-1，1）．
易知：

AB

=（0，1，0）是平面NBC的一个法向量．
所以cos＜

AB

，

n

＞=

-1

3

=-

3

3

，
∴面AMN与面NBC所成二面角的余弦值为

3

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，根据几何体的结构特征得到空间中的线面关系，进而建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角、空间距离与体积等问题．