【题目】已知函数f(x)=,把方程f(x)-x=0的根按从小到大顺序排成一个数列,则该数列的前n项和Sn=_________。
【答案】
【解析】解答:
当时,有
,则
,
当时,有
,则
,
当时,有
,则
,
当时,有
,则
,
以此类推,当 (其中
)时,则
,
所以,函数的图象与直线
的交点为:(0,1)和(1,2),
由于指数函数为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点。
然后①将函数和y=x+1的图象同时向下平移一个单位,即得到函数
和
的图象,
取的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0).
即当时,方程
有且仅有一个根x=0.
②取①中函数和
图象
的部分,再同时向上和向右各平移一个单位,
即得和y=x在0<x1上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1).
即当0<x1时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=1.
③取②中函数和y=x在0<x1上的图象,继续按照上述步骤进行,
即得到和y=x在1<x2上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2).
即当1<x2时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=2.
④以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),…(n+1,n+1).
即方程f(x)x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次为3,4,…,n+1.
综上所述方程f(x)x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为:
0,1,2,3,4,…,
∴该数列的前n项和,n∈N+.
故答案为: .
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【题目】假设乒乓球团体比赛的规则如下:进行5场比赛,除第3场为双打外,其余各场为单打,参赛的每个队选出3名运动员参加比赛,每个队员打两场,且第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛.某队有4名乒乓球运动员,其中 不适合双打,则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有种
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【题目】已知等差数列{an}的首项a1=3,且公差d≠0,其前n项和为Sn , 且a1 , a4 , a13分别是等比数列{bn}的b2 , b3 , b4 . (Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(Ⅱ)证明 .
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【题目】某商场欲经销某种商品,考虑到不同顾客的喜好,决定同时销售A、B两个品牌,根据生产厂家营销策略,结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析,A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比,其关系如图1所示,B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比,其关系如图2所示(利润与资金的单位:万元).
(1)分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式;
(2)该商场计划投入5万元经销该种商品,并全部投入A、B两个品牌,问:怎样分配这5万元资金,才能使经销该种商品获得最大利润,其最大利润为多少万元?
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【题目】已知数列{an}满足an=2an-1-2n+5,(n∈N且n≥2),a1=1,
(I)若bn=an-2n+1,求证数列{bn}(n∈N*)是常数列,并求{an}的通项;
(II)若Sn是数列{an}的前n项和,又cn=(-1)nSn,且{Cn}的前n项和Tn>tn2在n∈N*时恒成立,求实数t的取值范围。
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【题目】某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4小时. (Ⅰ)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为 ,停车付费多于14元的概率为
,求甲停车付费恰为6元的概率;
(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.
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【题目】已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)>f(x),且f(x+2)为奇函数,f(4)=﹣1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(﹣∞,0)
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