Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=

1

x

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=2^x+x²，证明：f（x）∈M．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,元素与集合关系的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）集合M中元素的性质，即有f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据定义只要证明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，转化为对应的函数，利用函数的零点存在性判定理进行判断．

解答： 解：（1）f（x）=

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
令

1

x+1

=

1

x

+1，整理得x²+x+1=0，
∵△=-3＜0，
∴x²+x+1=0无解，
因此，不存在x∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得f（x+1）=f（x）+f（1）成立，
∴f（x）=

1

x

∉M
（2）∵函数f（x）=2^x+x²∈M，要证f（x）∈M，
∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，
∴2^x+1+（x+1）²=2^x+x²+3有解，即2^x+2x-2=0有解，
设h（x）=2^x+2x-2，∵h（0）=-1，h（1）=2，
根据函数的零点存在性判定理得，存在x₀∈（0，1），h（x₀）=0，
即f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，
∴f（x）∈M．

点评：本题题意新颖，主要利用新定义进行运算，考查了对数函数、正弦函数和指数函数的性质，函数的零点存在性判定理的应用，综合性强、考查了逻辑思维能力和分析、解决问题的能力．