【题目】设函数f(x)= x2+ax﹣lnx(a∈R)
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
求实数m的取值范围.
(2)当a≥2时,讨论函数f(x)的单调性;
(3)若对任意a∈(2,3)及任意x1 , x2∈[1,2],恒有ma+ln2>|f(x1)﹣f(x2)|成立,
【答案】
(1)解:函数的定义域为(0,+∞),
a=1时,f(x)=x﹣lnx,f′(x)=1﹣ = ,
令f′(x)=0,得x=1,
∴f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴f(x)极小值=f(1)=1,无极大值;
(2)解:f′x)=(1﹣a)x+a﹣ = ,
当 =1,即a=2时,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上递减;
当 <1,即a>2时,令f′(x)<0,得0<x< ,或x>1,令f′(x)>0,得 <x<1,
当 >1,即a<2时,矛盾舍,
综上,a=2时,f(x)在(0,+∞)递减,a>2时,f(x)在(0, )和(1,+∞)递减,在( ,1)递增;
(3)解:由(2)得;a∈(2,3)时,f(x)在[1,2]上递减,
x=1时,f(x)最大,x=2时,f(x)最小,
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)= ﹣ +ln2,
∴ma+ln2> ﹣ +ln2.
a>0时,经整理得m> ﹣ ,
由2<a<3得;﹣ < ﹣ <0,
∴m≥0
【解析】(1)将a=1代入函数求出导函数得到单调区间,从而求出极值,(2)先求出导函数,再分别讨论a>2,a=2,a<2时的情况,综合得出单调区间;(3)由(2)得;a∈(2,3)时,f(x)在[2,3]上递减,x=1时,f(x)最大,x=2时,f(x)最小,从而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(2)= ﹣ +ln2,进而证出ma+ln2> ﹣ +ln2.经整理得m> ﹣ ,由2<a<3得;﹣ < ﹣ <0,从而m≥0.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题.
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【题目】为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况,有关部门随机抽取了一个样本,对数学成绩进行分组统计分析如下表:
(1)求出表中m、n、M,N的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
[0,30) | 3 | 0.03 |
[30,60) | 3 | 0.03 |
[60,90) | 37 | 0.37 |
[90,120) | m | n |
[120,150) | 15 | 0.15 |
合计 | M | N |
(2)若我市参加本次考试的学生有18000人,试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数;
(3)为了深入分析学生的成绩,有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析,求被选中2人分数均不超过30分的概率.
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【题目】如图,四棱锥的底面是平行四边形,底面,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若点分别为上的点,且,在线段上是否存在一点,使得平面;若存在,求出三棱锥的体积;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(Ⅰ)曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为3,求a的值;
(Ⅱ)若对于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12lnx恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)若a>1,设函数f(x)在区间[1,2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a),
记h(a)=M(a)-m(a),求h(a)的最小值.
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【题目】已知椭圆 的离心率 ,过点A(0,﹣b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(﹣1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
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【题目】已知f(x)=ax3+3x2﹣x+1,a∈R.
(1)当a=﹣3时,求证:f(x)=在R上是减函数;
(2)如果对x∈R不等式f′(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】某班同学利用寒假进行社会实践活动,对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是
否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得
到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
(I)补全频率分布直方图并求、、的值;
(II)从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动,其中选取人作为领队,求选取的名领队中恰有1人年龄在岁的概率.
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【题目】已知椭圆C: 的左右焦点分别为F1 , F2 , 点P为椭圆C上的任意一点,若以F1 , F2 , P三点为顶点的三角形一定不可能为等腰钝角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是 .
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