Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n+

k

n

，若对任意的n∈N^*，都有a_n≥a₃，则实数k 的取值范围为

6≤k≤12

．

Answer 1

分析：根据对所有n∈N^*不等式a_n≥a₃恒成立，可得

a2≥a3 a4≥a3

，可解得6≤k≤12，验证即可．

解答：解：由题意可得k＞0，
∵对所有n∈N^*不等式a_n≥a₃恒成立，
∴

a2≥a3 a4≥a3

，∴

2+ k 2 ≥3+ k 3 4+ k 4 ≥3+ k 3

，∴6≤k≤12
经验证，数列在（1，2）上递减，（3，+∞）上递增，
或在（1，3）上递减，（4，+∞）上递增，符合题意，
故答案为：6≤k≤12

点评：本题考查数列中的恒成立问题，考查学生的计算能力，属基础题．