Question

（2013•黄浦区二模）已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，an+1=

an

2

；当a_n为奇数时，an+1=

an-1

2

．
（1）若a₁=64，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（3）设a1=2m-3（m≥3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：Sn≤2m+1-m-5．（　　）

Answer 1

分析：（1）由a1=64=26，可得{a_n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）对a₁进行分类讨论：若a₁=4k（k∈Z）时；若a₁=4k+1（k∈Z）时；若a₁=4k+2（k∈Z）时；若a₁=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a₁的值；
（3）由a1=2m-3（m≥3），可得a₂，a₃，a₄．若ak=2t-1(t∈N*)，则a_k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，an=2m-n+1-1成立，又当n≤m时，a_n＞0；当n≥m+1时，a_n=0．故对于给定的m，S_n的最大值为2^m+1-m-5，即可证出结论．

解答：解：（1）由a1=64=26，可得a2=25，a3=24，…，a6=21，a7=20，a8=

1-1

2

=0，a₉=0，…，
即{a_n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．　　  …（2分）
故数列{a_n}的通项公式为an=

27-n，(1≤n≤7，n∈N) 0，(n≥8，n∈N)

．　       …（4分）
（2）若a₁=4k（k∈Z）时，a2=

a1

2

=2k，a3=

a2

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a₁=0；
若a₁=4k+1（k∈Z）时，a2=

a1-1

2

=2k，a3=

a2

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a₁=-3；…（7分）
若a₁=4k+2（k∈Z）时，a2=

a1

2

=2k+1，a3=

a2-1

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a₁=2；
若a₁=4k+3（k∈Z）时，a2=

a1-1

2

=2k+1，a3=

a2-1

2

=k，
由a₁，a₂，a₃成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a₁=-1；
∴a₁的值为-3，-1，0，2．                              　  …（10分）
（3）由a1=2m-3（m≥3），可得a2=

a1-1

2

=2m-1-2，a3=

a2

2

=2m-2-1，a4=

a3-1

2

=2m-3-1，
若ak=2t-1(t∈N*)，则a_k是奇数，从而ak+1=

ak-1

2

=

2t-1-1

2

=2t-1-1，
可得当3≤n≤m+1时，an=2m-n+1-1成立．                …（13分）
又am+1=20-1=0，a_m+2=0，…
故当n≤m时，a_n＞0；当n≥m+1时，a_n=0．            …（15分）
故对于给定的m，S_n的最大值为a₁+a₂+…+a_m=（2^m-3）+（2^m-1-2）+（2^m-2-1）+（2^m-3-1）+…+（2¹-1）=（2^m+2^m-1+2^m-2+…+2¹）-m-3=2^m+1-m-5，
故Sn≤2m+1-m-5．                                    …（18分）

点评：本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．