Question

给定集合A={a₁,a₂,a₃,……a_n}()，定义a_i+a_j()中所有不同值的个数为集合A元素和的容量，用L(A)表示。若A={2,4,6,8}，则L(A)=            ；若数列{a_n}是等差数列， 公差不为0，设集合A={a₁,a₂,a₃,……a_m}（其中，m为常数），则L(A)关于m的表达式为                .

 

Answer 1

【答案】

5    2m-3 

【解析】解：∵A={2，4，6，8}，

∴a_i+a_j（1≤i＜j≤4，i，j∈N）分别为：2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，

其中2+8=10，4+6=10，

∴定义a_i+a_j（1≤i＜j≤4，i，j∈N）中所有不同值的个数为5，

即当A={2，4，6，8}时，L（A）=5．

当数列{an}是等差数列，且集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m为常数）时，

a_i+a_j（1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：

a₁+a₂，a₂+a₃，a₃+a₄，…，a_m-2+a_m-1 ，a_m-1+a_m，

a₁+a₂，a₂+a₄，a₃+a₅，…，a_m-2+a_m ，

…，…，…，…，

a₁+a_m-2 ，a₂+a_m-1，a₃+a_m，

a₁+a_m-1，a₂+a_m，a₁+a_m，

∵数列{a_n}是等差数列，

∴a₁+a₄=a₂+a₃，

a₁+a5=a₂+a₄，

…，

a₁+a_m=a₂+a_m-1，

∴第二列中只有a₂+a_m的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，

同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，

∵第一列共有m-1个不同的值，后面共有m-1列，

∴所有不同的值有：m-1+m-2=2m-3，

即当集合A={a₁，a₂，a ₃，…，a _m}（其中m∈N*，m为常数）时，L（A）=2m-3