Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线l：x=

10

3

分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(

10

3

，

16

3

k)．由题设条件可以求出N(

10

3

，-

1

3k

)，所以|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|，
再由均值不等式进行求解．

解答：解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），
∴a=2，b=1，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）直线AS的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AS的方程为y=k（x+2），从而M(

10

3

，

16

3

k)．
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
设S（x₁，y₁），则(-2)•x1=

16k2-4

1+4k2

得x1=

2-8k2

1+4k2

，从而y1=

4k

1+4k2

．
即S(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，又B（2，0）
由

y=- 1 4k (x-2) x= 10 3

得

x= 10 3 y=- 1 3k

，∴N(

10

3

，-

1

3k

)，
故|MN|=|

16k

3

+

1

3k

|，
又k＞0，∴|MN|=

16

3

k+

1

3k

≥2

16k 3 • 1 3k

=

8

3

．当且仅当

16k

3

=

1

3k

，即k=

1

4

时等号成立
∴k=

1

4

时，线段MN的长度取最小值

8

3

．

点评：本题考查椭圆与直线的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．