Question

【题目】已知函数f（x）= 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ ）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知，f（x）为奇函数；

∴f（0）=b=0，则 ；

又 ；

∴a=1；

∴

（2）解：设﹣1＜x1＜x2＜1，则：

= ；

又﹣1＜x1＜x2＜1；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0；

即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

（3）解：由f（x2﹣1）+f（x）＜0得f（x2﹣1）＜﹣f（x）；

即f（x2﹣1）＜f（﹣x）；

由（2）知f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则 ；

∴原不等式的解集为

【解析】（1）根据条件即可得出f（x）为奇函数，原点有定义，从而f（0）=0，得出b=0，再由f（ ）= 即可求出a=1；（2）根据增函数的定义，设任意的﹣1＜x1＜x2＜1，然后作差，通分，证明f（x1）＜f（x2），从而便得出f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）根据f（x）为奇函数便可得出f（x2﹣1）＜﹣f（x），由f（x）在（﹣1，1）上为增函数即可得到不等式组 ，解该不等式组便可得出原不等式的解集．