Question

4．在△ABC中，角A为钝角，AB=3，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=12，当角C最大时，△ABC的面积等于（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 5
• D． $\frac{15}{2}$

Answer 1

分析 建立坐标系，如图，设∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，根据向量的几何意义可得BD=4，分别求出tanθ=y，tanβ=$\frac{y}{4}$，根据两角和的正切公式，求出tanα的最大值，即可求出△ABC的面积．

解答 解：建立坐标系，如图，
设∠CAD=θ，∠ABC=β，∠BCA=α，C（x，y），
∵$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=12，
∴acosβ=4，
即（其几何意义）：点C在AB方向上的正投影长度始终为4，
∴BD=4，
即AD=1，
∴tanθ=y，tanβ=$\frac{y}{4}$，
∴tanθ=tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴y=$\frac{tanα+\frac{y}{4}}{1-\frac{y}{4}tanα}$，
∴tanα=$\frac{3}{\frac{4}{y}+y}$，
∵$\frac{4}{y}$+y≥2$\sqrt{\frac{4}{y}•y}$=4，当且仅当y=2取等号，
∴tanα≥2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

点评 本题考查了向量的几何意义，以及解三角形和正切函数的和差公式，基本不等式，属于中档题．