Question

【题目】已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（　　）
A.2468
B.3501
C.4032
D.5739

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A +1

= cos（2ωx+2φ）+1+ （A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的最大值为3，

∴ +1+ =3，可求：A=2．

∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即： =4，

∴解得：ω= ．

又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1=2，

∴cos2φ=0，2φ= ，解得：φ= ．

∴函数的解析式为：f（x）=cos（ x+ ）+2=﹣sin x+2，

∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=﹣（sin +sin +sin +…+sin ）+2×2016

=504×0+4032=4032．

故答案为：C．

根据正弦函数的图象及性质得到f（x）的解析式，不难计算出f（1）+f（2）+…+f（2016）=4032．