Question

(1)如下图所示，设AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的异面直线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥α．

(2)在本例中，若AB、AE是夹在两个平行平面α、β之间的两条相交线段，且M、N分别为AB、AE的中点，如何证明MN∥α？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证法一：过点A作AE∥CD，交α于点E，∵α∥β，则AECD，即AEDC为平行四边形． 　　设P为AE的中点，连结PN、PM、BE，则PN∥ED，MP∥BE． 　　又∵PNα，EDα，∴PN∥α． 　　同理，可得PM∥α． 　　又∵PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面α． 　　又MN平面PMN，∴MN∥α． 　　证法二：如下图所示，连结AD，取AD的中点Q，连结QM、QN， 　　∵Q、N分别为AD、CD的中点，∴QN∥AC． 　　∵QNβ，ACβ， 　　∴QN∥β．∵α∥β，QN∥β，QNα， 　　∴QN∥α．同理可证QM∥α． 　　∵QM∩QN＝Q，∴平面QMN∥α． 　　∵MN平面MNQ， 　　∴MN∥α． 　　(2)证明：连结BE，∵M、N分别是AB、AE的中点， 　　∴MN∥BE． 　　又∵MN平面α，BE平面α，∴MN∥平面α． 　　思路分析：(1)本题考查两个平面平行的判定方法．要证明MN∥α，由于AB、CD为异面直线，所以要在α内找一条直线，证明它与MN平行较为困难．因此可转化为证明过MN的一个平面与平面α平行．

提示：

本题的证法较多，解题关键是如何处理好条件：AB、CD是两条异面线段．证法一实质上是把CD在两平行平面间沿着同一方向移到AE位置，AB和AE可确定一平面，借助于平面几何来处理问题；证法二是借助于空间四边形的对角线AD，把AB和CD分别放在两相交平面内来研究．本题还可以连结CM延长交α于点R，证明MN∥RD即可．