Question

（本题满分14分）

       已知函数，点．

   （Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；

   （Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，

令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值，

在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，

则只要且即可，即只要即可．

所以的取值范围是．                                    ………… 4分

（Ⅱ）当时，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

也即在对任意的恒成立．                  

令，则．        ………… 6分

记，则，

则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，

故也是最小值点，所以，

从而，所以函数在单调递增．

函数．故只要即可．

所以的取值范围是                             ………… 9分

（Ⅲ）假设，即，

即，

故，

即．

由于是方程的两个根，

故．代入上式得．   ………… 12分

，

即，与矛盾，

       所以直线与直线不可能垂直．                           ………… 14分