Question

已知函数f(x)=2sin(2x+

π

6

)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈(

π

4

，

3π

4

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由正弦函数的周期公式T=

2π

ω

（ω＞0）可求函数f（x）的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

即可求得其单调增区间；
（2）当x∈（

π

4

，

3π

4

]时，可求得2x+

π

6

∈（

2π

3

，

5π

3

]，继而可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
（2）∵x∈（

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

6

∈（

2π

3

，

5π

3

]，
∴-1≤sin（2x+

π

6

）＜

3

2

．
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）＜

3

．
∴x∈（

π

4

，

3π

4

]时f（x）=2sin（2x+

π

6

）的值域为[-2，

3

）．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，考查复合三角函数的单调性，考查正弦函数的定义域和值域，考查三角函数的综合应用，属于中档题．