Question

定义在R上的函数y=f（x），满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＞0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则有（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）＞f（x₂）

C．f（x₁）=f（x₂）

D．不确定

Answer 1

分析：由题设中条件f（4-x）=f（x）可得出函数关于x=2对称，由（x-2）f′（x）＞0可得出x＞2时，导数为正，x＜2时导数为负，由此可得出函数的单调性，再利用单调性比较大小即可选出正确答案．

解答：解：由题意f（4-x）=f（x），可得出函数关于x=2对称
又由（x-2）f′（x）＞0，
则当x＞2时，导数为正，当x＜2时导数为负，
即函数在（-∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数
又x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，以下进行讨论
若2＜x₁＜x₂，显然有f（x₁）＜f（x₂）
若x₁＜2＜x₂，有x₁+x₂＞4可得x₁＞4-x₂，故有f（x₁）＜f（4-x₂）=f（x₂）
综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x₁）＜f（x₂）．
故答案为：A

点评：本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单调性比较大小，求解本题的关键是根据导数的符号判断出函数的单调性，在比较大小时根据所给的条件灵活变形，将两数的大小比较转化到一个单调区间上比较也很重要，本题考查了转化化归的能力．