Question

射击运动的枪靶是由10个同心圆组成的,其中每两个相邻同心圆的半径的差等于中间最小圆的半径.每相邻两个圆之间围成一个圆环.从外向内顺次叫做1环,2环,3环,…,8环,9环.最小圆内的区域叫做10环.

       (1)若规定10环的面积为1,分别求出10环到1环的面积;

       (2)如果像枪靶那样构造无数多个同心圆,并且从最内部的小圆区域依次到外面的各个圆环区域的面积分别记为S₁,S₂,?S₃,…,?S_n,…,试给出S_n与S_n+1的递推关系式.

      

Answer 1

解析:(1)设最小圆半径为R,从小到大各同心圆的半径依次为2R,3R,…,9R,10R,于是?

       10环的面积为:πR²=1,?

       9环的面积为:π(2R)²-πR²=3πR²=3;?

       8环的面积为:π(3R)²-π(2R)²=5πR²=5.?

       ……?

       类似地可算出7环到1环的面积分别为7,9,11,13,15,17,19.?

       (2)设最小圆半径为R,则第n-1个、第n个、第n+1个同心圆的半径分别为(n-1)R、nR、(n+1)R.?

       ∴S_n=π(nR)²-π［(n-1)R］²=(2n-1)πR²,?

       S_n+1=π［(n+1)R］²-π(nR)²=(2n+1)πR²,?

       .?

       ∴递推关系式为S_n+1=S_n.