Question

6．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$（n∈N^*），则数列{b_n}的通项公式b_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 根据a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+b_n=1，先求得b₁的值，再根据b_n+1=b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，得到b_n+1与b_n的递推关系，根据b_n+1与b_n的递推关系，构造数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}，利用等差数列的定义，数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，即可求出表达式

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a₁+b₁=1，a_n+b_n=1
∴b₁=$\frac{1}{2}$，a_n=1-b_n，
∴b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-{b}_{n}）^{2}}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$-$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-1
∵$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=-2，
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是以-2为首项，-1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-2-（n-1）=-n-1，
∴b_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{n+1}$

点评 本题考查了等差数列的应用，以及构造新数列求通项公式．属中档题．