Question

若线段P₁P₂为抛物线C：y²=2px(p＞0)的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：。

Answer 1

答案：
解析：

证法一：∵F(,0)，若过F的直线即线段P1P2所在直线斜率不存在时，则有|P1F|=|P2F|=p。 ∴ 若线段P1P2所在直线斜率存在时，设为k,则此直线为：y=k(x－)(k≠0)，且设 P1（x1,y2),P2(x2,y2)。 由得： k2x2－p(k2+2)x+ ∴x1+x2=    ① x1·x2=　　　　　　 ② 根据抛物线定义有 |P1F|=x1+,|P2F|=x2+。 ∴|P1P2|=x1+x2+p 则 将①②代入并化简得： 证法二： 如图所示，设P1、P2、F点在C的准线l上的射影分别是P1′、P2′、F′，且不妨设|P2P2′|=n＜m=|P1P1′|,又设P2点在FF′、P1P1′上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知， |P2F|=n,|P1F|=m,|F′F|=p 又△P2AF∽△P2BP1 ∴ 即 ∴p(m+n)=2mn ∴ 故原命题成立。