Question

已知C1：x2-8x+y2+15=0，C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1，若?t∈R，使得C₁与C₂至少有一个公共点，则k的取值范围

[0，

4

3

]

．

Answer 1

分析：通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．

解答：解：因为圆C1：x2-8x+y2+15=0圆心为（4，0）半径为1的圆，
圆C2：(x-t)2+(y-kt+2)2=1是圆心为（t，kt-2）半径为1的圆，
因为两个圆的半径都是1，所以两个圆至少有一个公共点就是两个圆心距小于等于2；
得出（t-4）²+（kt-2）²≤4
化简得（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0，
因为存在t∈R，使得C₁与C₂至少有一个公共点，只需不等式（k²+1）t²-4（2+k）t+16≤0有解，
不等式有解等价于抛物线与x轴至少有一个交点，
即△≥0，即16（2+k）²-4（k²+1）×16≥0，
解得0≤k≤

4

3

．
故答案为：[0，

4

3

]．

点评：本题考查两个圆的位置关系的应用，二次方程解的个数问题，考查转化思想，计算能力．