Question

数列{a_n}满足a₁=-

1

2

，2a_n=4a_n-1-3，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：本题（Ⅰ）根据条件构造新数列，通过新数列的通项公式，求出数列{a_n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列的通项公式，将原数列列转化为一个常数数列和一个等比数列，求出数列的前n项和，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵2a_n=4a_n-1-3，
∴an-

3

2

=2(an-1-

3

2

)．
∵a₁=-

1

2

，
∴a₁-

3

2

=-2．
∴数列{a_n-

3

2

}的首项为-2，公比为2的等比数列．
∴a_n-

3

2

=（-2）×2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=-2n+

3

2

．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=-2n+

3

2

．
（Ⅱ）数列{a_n}的前n项和
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=(-2+

3

2

)+(-22+

3

2

)+(-23+

3

2

)+…+(-2n+

3

2

)
=-(2+22+23+…+2n)+

3

2

n
=-

2(1-2n)

1-2

+

3n

2

=-2n+1+

3

2

n+2．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=-2n+1+

3

2

n+2．

点评：本题考查了构造新数列求通项以及求数列的前n项和，还考查了化归转化的数学思想，本题有一定的难度，属于中档题．