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设f(x)=xa+
16
x
,a∈Z.
(1)若f(x)的图象关于原点对称,求a的所有可能值组成的集合A;
(2)当a=2,判断并用定义证明函数f(x)在(2,+∞)上的单调性.
考点:函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断
专题:函数的性质及应用
分析:(1)若f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x),可解得:xa=-(-x)a,可解得a为奇数.
(2)当a=2,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.设2<x1<x2,则证明f(x2)-f(x1)>0即可.
解答: 解:(1)若f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x)
即有:-(xa+
16
x
)=(-x)a-
16
x
,可解得:xa=-(-x)a
所以a为奇数,故a的所有可能值组成的集合A={x|x=2n-1,n属于正整数}.
(2)当a=2,函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.
证明:∵a=2,
∴f(x)=x2+
16
x

∴设2<x1<x2,则有x2-x1>0,x1x2>4,x2+x1>4,x1x2(x1+x2)>16,
∴f(x2)-f(x1)=x22+
16
x2
-x12-
16
x1
=
(x2-x1)[x1x2(x2+x1)-16]
x1x2
>0
∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递增.
点评:本题主要考察了函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断,属于中档题.
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1
3
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2
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3
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